Ringkasan Materi Matematika Kelas 6 SD TA 2013/2014 ~ Kumpulan Soal SD

Membandingkan Pecahan dengan Game

Materi pecahan sering menjadi momok bagi sebagian besar siswa SD ataupun SMP. Untuk itu, mari kita pelajari pecahan dengan cara yang lebih manis, yaitu dengan game “Pesta Cokelat Maksimal”. Pada game ini kita akan belajar untuk membagi cokelat. Selain itu kita juga akan berlatih membandingkan dan mengurutkan bagian-bagian cokelat, yang digunakan sebagai konteks dari pecahan.

Aturan Game

Pada game ini membutuhkan 3 buah meja dan 6 buah cokelat. Satu, dua, dan tiga buah cokelat, yang memiliki kesamaan dalam ukuran dan rasa, secara berturut-turut diletakkan pada meja pertama, kedua, dan ketiga. Setiap tamu yang datang memilih satu dari ketiga meja tersebut kemudian duduk mengelilingi meja tersebut. Aturan dari game ini menyatakan bahwa jika semua tamu telah duduk, cokelat yang ada pada meja tersebut dibagi sama rata kepada seluruh tamu yang mengelilingi meja tersebut. Untuk tujuan dalam game ini, kita anggap bahwa semua pemain menginginkan bagian cokelat yang semaksimal mungkin, dan semua tamu yang memilih meja menganggap dirinya sebagai tamu yang terakhir.

Dan Game-pun Dilakukan

Ketika memainkan game ini, tempatkan lembar kerja di setiap meja. Lembar kerja tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.

Semua partisipan game ini berdiri agak jauh dari meja, akan tetapi mereka juga harus jelas untuk melihat cokelat yang ada di atas meja dan semua tamu yang telah duduk mengelilingi meja tersebut. Semua partisipan juga harus memiliki copy-an dari lembar kerja di atas. Setelah setiap tamu baru yang duduk, semua partisipan (termasuk mereka yang telah duduk) harus memikirkan di mana tamu selanjutnya seharusnya duduk. Adalah hal yang penting untuk menanyakan kepada setiap tamu baru, mengapa dia memilih meja tertentu. Semua partisipan lainnya mendengarkan dengan cermat pendapat dari tamu baru tersebut untuk mendiskusikannya, apakah pendapat tamu baru tersebut benar atau salah.

Diskusi Langkah Demi Langkah Selama Game Berlangsung

Perhatikan tabel di bawah dan ikuti penjelasannya.

Karena semua kotak cokelat pada masing-masing meja memiliki ukuran yang sama, maka kita gunakan kata “bagian” sebagai satuan dalam keseluruhan pembahasan ini. Tamu yang datang pertama kali akan memilih meja ke-3. Mengapa? Karena saat pertama kali datang, banyaknya cokelat pada meja pertama paling banyak di antara meja-meja yang lain. Tamu kedua akan mendapat 1 bagian pada meja pertama, 2 bagian pada meja ke-2, dan 1 1/2 bagian pada meja ke-3, karena 3 bagian pada meja ini akan dibagi kepada tamu sebelumnya. Sehingga tamu ke-2 akan memilih meja yang ke-2. Tamu ke-3 akan mendapat 1 bagian pada meja pertama, 1 bagian pada meja ke-2, dan 1 1/2 pada meja ke-3. Sehingga tamu ke-3 akan memilih meja ke-3.

Tamu 4, 5, dan 6

Tamu ke-4 dapat memilih sembarang meja, karena ada 1 bagian cokelat yang menunggunya pada masing-masing meja. Misalkan tamu ke-4 memilih meja yang pertama. Maka tamu ke-5 dan 6 secara berturut-turut bisa memilih meja yang ke-3 dan 2. Bagaimana jika tamu ke-4 memilih meja yang berbeda? Maka tamu ke-5 dan ke-6 memilih meja yang berbeda pula. Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, apapun urutan meja yang dipilih oleh tamu ke-4, 5, dan 6 tidak akan mengubah bagian cokelat yang akan diterima oleh tamu ke-7, pada masing-masing meja.

Tamu Ke-7

Keputusan meja mana yang akan dipilih oleh tamu ke-7 patut mendapat perhatian yang berbeda. Tamu ke-7 akan mendapat pilihan 1/2 bagian pada meja pertama, 2/3 bagian pada meja ke-2, dan 3/4 bagian pada meja ke-3. Manakah yang paling besar: 1/2, 2/3, ataukah 3/4? Kita dapat menganggap setiap pecahan tersebut sebagai “pecahan yang kurang dari keseluruhan.” Bagaimanapun, ketiga pecahan tersebut berbeda: 1/2 sama dengan 1/2 kurangnya dari keseluruhan, 2/3 sama dengan 1/3 kurangnya dari keseluruhan, dan 3/4 sama dengan 1/4 kurangnya dari keseluruhan. Maka, kita dapat membandingkan unit-unit pecahan 1/2, 1/3, dan 1/4 terlebih dahulu. Yang dimaksud unit pecahan di sini adalah pecahan yang memiliki pembilang sama dengan 1.

Bayangkan 3 kotak cokelat yang memiliki ukuran/besar sama. Satu kotak dibagi menjadi 2 bagian yang sama, satu kotak dibagi menjadi 3 bagian yang sama, dan satu kotak dibagi menjadi 4 bagian yang sama. Bagian manakah yang terkecil, bagian manakah yang terbesar?

Semakin banyak kita membagi cokelat, maka semakin kecil bagian cokelat yang kita dapat. Atau secara informal, kita dapat mengatakan: “Semakin banyak teman semakin bagus, akan tetapi tidak demikian apabila kita ingin membagikan cokelat.” Sehingga, 1/2 > 1/3 > 1/4. Secara matematis, kita dapat menyatakan bahwa: Beberapa unit pecahan dapat dibandingkan dengan membandingkan penyebutnya–semakin besar penyebutnya, semakin kecil nilai unit pecahan tersebut.

Bayangkan 3 kotak cokelat yang sama. Satu kotak cokelat pertama dipotong 1/2 bagian, satu kotak cokelat pertama dipotong 1/3 bagian, dan satu kotak cokelat lainnya dipotong 1/4 bagian. Dari ketiga kotak cokelat tersebut, kotak cokelat manakah yang memiliki bagian sisa yang paling besar? Jawaban dari pertanyaan ini sama dengan jawaban dari pertanyaan, “Cokelat manakah yang dipotong paling kecil?” Sehingga, 3/4 > 2/3 > 1/2. Ini berarti bahwa, tamu ke-7 harus memilih meja yang ke-3.

Tamu 8 sampai 12

Tamu ke-8 akan membandingkan 2/3 dan 3/5, karena kedua pecahan tersebut lebih besar dari 1/2. Tetapi, seberapa lebih besarkah? Untuk membandingkannya, perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, kita dapat melihat bahwa 2/3 lebih dari 1/2, sebesar setengahnya 1/3. Sedangkan 3/5 lebih dari 1/2, sebesar setengahnya 1/5. Padahal 1/5 kurang dari 1/3. Sehingga, setengahnya 1/5 kurang dari setengahnya 1/3. Hal ini menyebabkan 3/5 kurang dari 2/3. Sehingga, tamu ke-8 seharusnya memilih meja yang ke-2. Selanjutnya, tamu ke-9 pergi ke meja ke-3.

Tamu ke-10 dapat memilih meja manapun, karena dia akan mendapatkan bagian yang sama, yaitu 1/2 bagian dari kotak cokelat. Akan tetapi, pada meja ke-2 bagian yang akan diterima direpresentasikan dengan 2/4, sedangkan pada meja ke-3 direpresentasikan dengan 3/6. Sehingga, kita dapat mengatakan bahwa 1/2 = 2/4 = 3/6. Ketiga pecahan tersebut merupakan pecahan yang senilai. Apa itu pecahan senilai?

Pecahan senilai dari pecahan tertentu dapat diperoleh dengan mengalikan pecahan tertentu tersebut dengan suatu bilangan. Atau dapat disimbolkan, a/b = p/q, apabila p = k × a dan q = k × b, untuk a, b, p, q, dan k merupakan bilangan asli.

Misalkan tamu ke-10 memilih meja pertama dan tamu ke-11 memilih meja ke-3. Maka tamu ke-12 akan memilih meja ke-2.

Tamu 13

Meja manakah yang seharusnya dipilih oleh tamu ke-12? Mari kita mulai dengan membandingkan 1/3 dan 2/5. Dengan menggunakan pecahan senilai, kita dapatkan 1/3 = 2/6. Sebelumnya, kita telah mendapatkan, untuk unit-unit pecahan, semakin besar penyebutnya, semakin kecil nilai unit pecahan tersebut. Sehingga, 1/5 lebih besar dari 1/6. Sehingga pertidaksamaan itu juga berlaku bagi dua kali dari masing-masing unit pecahan tersebut. Diperoleh, 2/5 > 2/6. Sehingga aturan ini tidak hanya berlaku pada unit-unit pecahan, tetapi juga berlaku pada setiap pecahan yang memiliki pembilang sama. (Bayangkan untuk menempatkan beberapa beban yang banyaknya sama pada sisi kanan dan kiri suatu timbangan. Semua beban di sisi kiri memiliki berat yang sama, dan semua beban di sebelah kanan memiliki berat yang sama. Akan tetapi setiap beban pada sisi kiri lebih ringan daripada setiap beban di sebelah kanan. Beban manakah yang lebih ringan, semua beban di sebelah kiri atau kanan?)

Sekarang kita akan membandingkan 2/5 dan 3/7. Untuk membandingkan kedua pecahan ini, perhatikan gambar berikut!

Dari gambar tersebut kita dapat melihat bahwa 2/5 kurang dari 1/2, yaitu sebesar setengahnya 1/5. Sedangkan 3/7 kurang dari 1/2, yaitu sebesar setengahnya 1/7. Karena 1/5 lebih besar dari 1/7, maka 2/5 terletak di sebelah kiri 1/2 lebih jauh daripada 3/7. Hal ini menunjukkan bahwa, 2/5 < 3/7, dan tamu ke-13 seharusnya pergi ke meja 3.

Dan Tamu-tamu Selanjutnya

Tamu yang ke-14 mungkin mengatakan bahwa telah ditunjukkan 1/3 = 2/6 < 2/5. Dengan menggunakan penalaran ini, 1/3 = 3/9 < 3/8. Sehingga kita perlu membandingkan 2/5 dan 3/8. Sebelumnya kita telah mendapatkan bahwa 2/5 kurang dari 1/2, yaitu sebesar setengahnya 1/5. Atau dengan kata lain, 2/5 kurang dari 1/2 sebesar 1/10. Atau,

Di sisi lain, 1/2 = 4/8 dan 3/8 sama dengan 1/8 kurangnya dari 1/2, atau

Lagi, seperti kasusnya tamu ke-7, kita mengurangkan pecahan yang sama, tetapi 1/10 lebih kecil dari 1/8. Sehingga, 2/5 lebih besar dari 3/8, dan meja ke-2 harus dipilih oleh tamu ke-14. Selanjutnya, tamu ke-15 harus memilih meja ke-3. Tamu ke-16 mendapatkankan bagian yang sama di setiap meja.

Setelah tamu ke-16 tersebut, kita dapat menghentikan permainan ini. Walaupun secara teoritis, permainan ini dapat diteruskan sampai tamu yang tak terbatas.

Perkalian Pecahan

Untuk mengikuti lomba memasak, Indira dan kelompoknya diwajibkan membawa bahan-bahan untuk memasak. Dalam kelompok Indira tersebut, Indira dan seorang temannya, Mawar, ditugasi temannya untuk membawa beras dua pertiga kilogram. Indira dan Mawar sepakat bahwa masing-masing dari mereka akan membawa setengah dari beras tersebut. Berapa kilogram beras yang akan dibawa oleh Indira?

Untuk menjawab permasalahan tersebut, kita dapat menggunakan operasi perkalian pada pecahan. Indira akan membawa setengah dari dua pertiga kilogram beras, yang dapat dituliskan 1/2 × 2/3 kg. Berapakah hasil kali 1/2 dan 2/3? Untuk menjawabnya, kita dapat menggunakan konsep luas persegi panjang sebagai berikut.

Perhatikan persegi panjang warna hijau! Persegi panjang tersebut memiliki panjang 2/3 dan lebar 1/2. Dari gambar di atas, dengan jelas kita dapat mengetahui bahwa luas dari persegi panjang tersebut adalah 2/6 bagian dari persegi satuan. Karena luas persegi panjang adalah panjang dikali lebar, maka kita dapat memperoleh 2/3 × 1/2 = 2/6. Sehingga, beras yang akan dibawa oleh Indira adalah 2/6 atau 1/3 kg.

Apa yang dapat kita simpulkan dari permasalahan di atas? Sebelum kita masuk ke kesimpulan, perhatikan beberapa contoh perkalian pecahan lainnya berikut.

Dari gambar 1 kita dapat memperoleh bahwa 2/5 dikali 3/4 sama dengan 6/20. Pada gambar 2, 7/8 dikali dengan 3/4 sama dengan 21/32. Sedangkan pada gambar 3, kita dapat memperoleh bahwa 4/6 dikali dengan 5/6 sama dengan 20/36. Ketiga perkalian pecahan di atas dapat dituliskan sebagai berikut.

Apa yang dapat kita amati dari perkalian di atas? Bagaimana dengan pembilang dan penyebut dari pecahan hasil perkalian? Pada perkalian pertama, pembilang dari hasil perkaliannya adalah 6, yang sama dengan 2 × 3, yaitu perkalian dari pembilang pecahan-pecahan yang dikalikan. Sedangkan penyebut dari hasil perkaliannya adalah 20, yang sama dengan 5 × 4, yaitu perkalian dari penyebut pecahan-pecahan yang dikalikan. Demikian juga pada operasi perkalian kedua dan ketiga.

Hasil kali dua pecahan merupakan pecahan yang pembilang dan penyebutnya secara berturut-turut merupakan perkalian dari pembilang dan penyebut pecahan-pecahan yang dikalikan.

Untuk lebih memahami mengenai perkalian pecahan, perhatikan beberapa contoh berikut.

Bagaimana dengan perkalian yang melibatkan bilangan asli atau pecahan campuran? Untuk kasus ini, kita harus mengubah bilangan asli dan pecahan campuran tersebut ke dalam pecahan biasa. Perhatikan contoh berikut!

Pengurangan Pecahan

Dalam suatu upacara bendera, Dewi, Cecil, dan Rahma berada dalam satu barisan. Dewi berada paling depan, Cecil 1/4 dam di belakang Dewi, sedangkan Rahma berada 3/4 dam di belakang Dewi. Dapatkah kita menentukan jarak Cecil dengan Rahma? Untuk menjawabnya, pertama-tama perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, kita dapat memperoleh bahwa jarak antara Cecil dengan Rahma adalah 2 bagian dari 4 dekameter. Atau dengan kata lain, tiga perempat dikurangi seperempat sama dengan dua perempat. Pernyataan tersebut apabila dituliskan dalam bentuk pecahan akan menjadi seperti berikut.

Apabila kita perhatikan, operasi pengurangan pada pecahan memiliki aturan yang sama dengan operasi penjumlahan, yaitu pembilang dikurangi dengan pembilang, sedangkan penyebutnya tetap. Operasi pengurangan di atas dapat kita lengkapi sebagai berikut.

Bagaimana dengan operasi pengurangan pada pecahan-pecahan yang memiliki penyebut yang berbeda? Ya, seperti pada operasi penjumlahan, kita harus menyamakan penyebut dari pecahan-pecahan tersebut menjadi KPK-nya sebelum melakukan operasi pengurangan. Perhatikan beberapa contoh berikut!

Pengurangan pecahan di atas dapat dimodelkan oleh gambar berikut.

Dari uraian di atas, apakah kamu sudah memahami operasi pengurangan pada pecahan? Okay, kalau sudah, sekarang waktunya untuk menyelesaikan permasalahan berikut.

Pemecahan Masalah

Perhatikan garis bilangan berikut!

Dengan menggeser garis bilangan tersebut ke kiri atau ke kanan, tentukan hasil dari 3/4 – 1/2!

Penjumlahan Pecahan

Di suatu waktu, Andi sedang mengisi bak mandi. Setelah berhasil mengisi tiga perlima bagian dari bak mandi tersebut, dia dipanggil Ibunya. Kemudian pekerjaannya tersebut dilanjutkan oleh adiknya, Amir. Amir berhasil mengisi air seperlima bagian, sebelum dia berhenti untuk beristirahat. Apakah Andi dan Amir sudah mengisi penuh bak mandi tersebut?

Untuk menjawab permasalahan tersebut, perhatikan gambar berikut!

Dari gambar tersebut, kita dapat mengetahui bahwa ternyata Andi dan Amir belum mengisi bak mandi tersebut sampai penuh. Mereka berdua masih mengisi empat perlima dari bak mandi terebut.

Dari contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa tiga perlima bagian ditambah seperlima bagian sama dengan empat perlima. Atau dapat dituliskan 3/5 + 1/5 = 4/5. Ternyata, kita menggunakan operasi penjumlahan pecahan untuk menentukan berapa bagian bak mandi yang telah diisi oleh Andi dan Amir. Mari kita tulis kembali operasi penjumlahan kedua pecahan tersebut.

Apa yang dapat kalian amati dari penjumlahan dua pecahan di atas? Bagaimana dengan penyebut-penyebutnya? Bagaimana dengan pembilang-pembilangnya?

Pecahan-pecahan yang dijumlahkan memiliki penyebut yang sama, dan menghasilkan pecahan dengan penyebut yang juga sama, yaitu 5. Selanjutnya, kita perhatikan pembilang dari pecahan-pecahan yang dijumlahkan dan pecahan hasil penjumlahan. Pembilang dari pecahan-pecahan yang dijumlahkan adalah 3 dan 1. Sedangkan pembilang dari pecahan hasil penjumlahan adalah 4. Apa hubungan antara 3, 1, dan 4? Ya, 3 + 1 = 4.

Dari penjelasan sebelumnya, apa yang dapat kita simpulkan mengenai operasi penjumlahan pada pecahan-pecahan dengan penyebut sama?

Penjumlahan pecahan-pecahan dengan penyebut sama menghasilkan suatu pecahan yang pembilangnya merupakan hasil jumlah pembilang dari pecahan-pecahan yang dijumlahkan, sedangkan penyebutnya tetap.

Untuk lebih memahami mengenai penjumlahan pecahan-pecahan dengan penyebut yang sama, perhatikan beberapa contoh berikut!

Penjelasan sebelumnya menerangkan tentang penjumlahan pecahan-pecahan dengan penyebut yang sama. Bagaimana dengan penjumlahan yang melibatkan pecahan-pecahan yang penyebutnya tidak sama?

Penjumlahan Pecahan Berpenyebut Tidak Sama

Untuk menentukan penjumlahan pecahan-pecahan yang memiliki penyebut tidak sama, perhatikan gambar berikut!

Gambar paling kiri menunjukkan pecahan 2/3, gambar tengah menunjukkan pecahan 1/4, sedangkan gambar paling kanan menunjukkan pecahan hasil penjumlahan 2/3 dan 1/4. Pecahan berapakah, tepatnya, yang ditunjukkan oleh gambar paling kanan? Apabila kita melihat gambar di atas, mungkin kita sulit mengidentifikasinya. Sekarang kita bagi lagi daerah lingkaran tersebut menjadi 12 bagian yang sama besar, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Dari gambar di atas, dapat ditunjukkan bahwa pecahan 2/3 senilai dengan 8/12 (gambar paling kiri) dan pecahan 1/4 senilai dengan 3/12 (gambar tengah). Dari gambar di atas, juga dapat dilihat bahwa jumlah dari 2/3 dan 1/4 adalah 11/12. Apa yang dapat kita peroleh dari ilustrasi tersebut?

Untuk menjumlahkan pecahan-pecahan yang memiliki penyebut berbeda, kita harus menyamakan penyebut dari pecahan-pecahan tersebut dengan KPK-nya.

Penjumlahan dari pecahan 2/3 dan 1/4 dapat dituliskan sebagai berikut:

Untuk lebih memahami mengenai penjumlahan pecahan-pecahan dengan penyebut yang berbeda, perhatikan beberapa contoh berikut!

Mengurutkan Pecahan

Apabila kita diberikan dua pecahan, misalkan 2/3 dan 8/11, apakah kamu dapat membandingkan kedua pecahan tersebut? Pecahan mana yang lebih besar? Sebelumnya, mari kita selesaikan permasalah tersebut dengan sebuah perumpamaan. Dua pertiga sama dengan dua bagian roti apabila kita membaginya menjadi 3 bagian yang sama besar. Demikian juga dengan 8/11 sama dengan 8 bagian roti apabila kita membaginya menjadi 11 bagian yang sama besar. Perhatikan gambar yang merepresentasikan kedua pecahan tersebut.

Dengan bantuan gambar di atas, kita dapat melihat dengan mudah bahwa 8/11 lebih besar dari 2/3, atau dapat dituliskan 8/11 > 2/3. Sekarang mari kita lihat posisi kedua pecahan tersebut pada garis bilangan.

Dari garis bilangan tersebut, kita dapat memperoleh bahwa 8/11 berada di kanan 2/3. Hal ini merupakan bukti lain bahwa 8/11 lebih besar dari 2/3. Selain dengan menggunakan gambar dan garis bilangan, apakah ada cara lain untuk membandingkan dua pecahan?

Mengurutkan Pecahan dengan Menyamakan Penyebut

Membandingkan pecahan dapat dilakukan dengan menyamakan penyebutnya. Penyebut dari pecahan-pecahan yang belum sama, dapat disamakan dengan menggantinya dengan faktor persekutuan penyebut pecahan-pecahan tersebut.

Misalkan kita akan membandingkan dua pecahan sebelumnya, yaitu 8/11 dan 2/3. Faktor persekutuan dari 11 dan 3 di antaranya adalah 33, 66, 99, dan 132. Kita ambil saja faktor persekutuan yang terkecil, atau disebut KPK, yaitu 33. Sehingga,

Karena 24 bagian dari 33 lebih besar daripada 22 bagian dari 33, maka

Setelah dapat membandingkan dua pecahan, sekarang kita akan berlatih untuk mengurutkan beberapa pecahan. Misalkan diberikan pecahan-pecahan 1/3, 2/5, 4/15, 5/12, dan 5/6. Dapatkah kamu mengurutkan pecahan-pecahan tersebut dari yang terkecil ke terbesar?

Sebelum mengurutkan pecahan-pecahan tersebut, kita harus membandingkan pecahan-pecahan tersebut dengan menyamakan penyebutnya. KPK dari 3, 5, 15, 12, dan 6 adalah 60. Sehingga,

Setelah menyamakan penyebut-penyebutnya, kita tentu mudah untuk mengurutkannya. Urutan pecahan-pecahan dari yang terkecil ke terbesar adalah,

Untuk mengurutkan pecahan dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu, apa yang perlu diperhatikan?

Apabila dua pecahan memiliki penyebut yang sama, pecahan yang memiliki pembilang yang lebih besar, nilainya lebih besar daripada pecahan yang pembilangnya lebih kecil.

Agar kalian lebih memahaminya, perhatikan gambar berikut!

Selain dengan menyamakan penyebutnya, kita dapat mengurutkan beberapa pecahan dengan menyamakan pembilangnya.

Mengurutkan Pecahan dengan Menyamakan Pembilang

Sebelum kita mulai mengurutkan beberapa pecahan dengan menyamakan pembilangnya, mari kita tinjau pecahan-pecahan yang pembilangnya sama berikut.

Dari ketiga contoh pecahan di atas, apa yang dapat kita peroleh?

Apabila dua pecahan memiliki pembilang yang sama, maka pecahan yang penyebutnya lebih besar, nilainya lebih kecil daripada pecahan yang penyebutnya lebih kecil.

Agar kamu mudah mengingat pernyataan di atas, kamu dapat memperhatikan gambar berikut.

Selanjutnya mari kita urutkan pecahan-pecahan 1/2, 3/5, 2/3, 4/7, dan 5/9 dari yang terbesar ke terkecil. KPK dari 1, 2, 3, 4, dan 5 adalah 60. Sehingga,